La representación gráfica es la que se utiliza en circuitos y esquemas
electrónicos. En la siguiente figura se representan gráficamente dos funciones
algebraicas, una con símbolos no normalizados, superior, y la otra con
normalizados, inferior (véanse los símbolos de las puertas lógicas).
Para una función booleana de n variables {x_1,…x_n}, un producto
booleano en el que cada una de las n variables aparece una sola vez (negada o
sin negar) es llamado mini término. Es decir, un mini término es una expresión
lógica de n variables consistente únicamente en el operador conjunción lógica
(AND) y el operador complemento o negación (NOT).
Por ejemplo, abc, ab’c y abc’ son ejemplos de minterms para una función
booleana con las tres variables a, b y c.
En general, uno asigna a cada minterm (escribiendo las variables que lo
componen en el mismo orden), un índice basado en el valor binario del minterm.
Un término negado, como a’ es considerado como el número binario 0 y el término
no negado a es considerado como un 1. Por ejemplo, se asociaría el número 6 con
a b c’, y nombraríamos la expresión con el nombre m_6. Entonces m_0 de tres
variables es a’ b’ c’ y m_7 debería ser a b c al ser 111_ {(2}. Se puede
observar que cada minterm solo devuelve verdadero, (1), con una sola entrada de
las posibles. Por ejemplo, el mini término 5, a b’ c es verdadero solo cuando a
y c son ciertos y b es falso - la entrada a = 1, b = 0, c = 1 da resultado 1.
Maxitérminos
Un maxitérmino es una expresión lógica de n variables que consiste
únicamente en la disyunción lógica y el operador complemento o negación. Los
maxiterminos son una expresión dual de los mini términos. En vez de usar
operaciones AND utilizamos operaciones OR y procedemos de forma similar. Por
ejemplo, los siguientes términos canónicos son maxitérminos:
El álgebra booleana es una extensión de la lógica matemática, ya que
utiliza los mismos principios y operadores lógicos (and, or, not, xor, nand),
así como los mismos valores, y gracias a esto John Von Neuman pudo crear la
computadora de la primera generación.
Los dispositivos con los que se implementan las funciones booleanas se
llaman “compuertas”, y al combinarse han permitido inicialmente la creación del
“bulbo", posteriormente la del “transistor” y actualmente la del 'Chip”,
elementos con los cuales se construye todo tipo de aparato electrónico digital.
Las computadoras llevan a cabo su trabajo por medio de un
microprocesador, el cual es un circuito de alta escala de integracion (LSI)
compuesto por muchos circuitos simples como nip-flops, contadores, decodificadores,
paradores, etc., todos en una misma pastilla de silicio en donde se utilizan
compuertas del algebra booleana para llevar a cabo las operaciones lógicas.
Las microoperaciones que lleva a cabo el microprocesador se realizan en
lenguaje binario a nivel bit. Por ejemplo, si A = 110010, B = 011011 entonces
el resultado de llevar a cabo las siguientes operaciones en donde intervienen
los operadores lógicos (∧, ∨ , ') es:
Cuando se plantea un problema, en general la expresión booleana obtenida
no necesariamente es la óptima, esto es, la más fácil, clara y sencilla de
implementar utilizando compuertas lógicas. La expresión que resulta del
planteamiento del problema puede ser simplificada empleando para ello teoremas
y postulados del algebra booleana o bien mapas de Karnaugh.
Ahora podemos optimizar nuestra función booleana y lo reducen en una
forma más compacta. Tome la función anterior
F
= x1x2 + x1
Podemos
reducir la función mediante el uso de las reglas básicas de álgebra y
técnicas...
F
= (x1) (x2 +1) He tomar x1 común
Ahora
el segundo término (x2 +1) le dará un valor, independientemente de cualquier
valor de x2, ya que tiene una constante por lo que puede reemplazar a (x2 +1)
por lo tanto uno se convierte en F
F = (x1) (1)
F = x1
Así que tenemos que reducir la función en forma más sencilla mediante el
uso de las técnicas básicas de álgebra. Ahora nos encontramos con la salida de
esta función.
X1
F
0
0
1
1
0
0
1
1
Así que usted puede ver que parte de la salida de esta función es igual
que la salida de la función anterior, porque en realidad ambos son las mismas
funciones y hemos reducido la función más simple en el uso de técnicas de
álgebra y los teoremas de nuestra propia simplicidad.
Así que si se le da cualquier función de Booleana primero trate de reducir
en forma más sencilla para que pueda obtener la salida fácil.
Álgebra de Boole (también llamada álgebra booleana) en informática y
matemática, es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones
lógicas Y, O, NO y SI (AND, OR, NOT, IF), así como el conjunto de operaciones
unión, intersección y complemento.
Hay numerosos casos de distintas análisis de estructuras algebraicas que
corresponden al álgebra de Boole, aunque en apariencia son muy diferentes, su
estructura es la misma, vamos a ver algunos de ellos, con el propósito de hacer
palpable las similitudes en la estructura y los distintos ámbitos de aplicación
y distinta terminología para referirse a las operaciones o a las variables,
veámoslos.
En las matemáticas y la lógica matemática, álgebra de Boole es la
subárea de álgebra en la que los valores de las variables que son los valores
de la verdad verdadera y falsa, denotado generalmente 1 y 0 respectivamente. En
lugar de álgebra elemental donde los valores de las variables son números, y
las principales operaciones son la suma y la multiplicación, las principales
operaciones del álgebra de Boole son la conjunción y, denotaba ∧, la disyunción o, denotado ∨, y la negación no, denotan ¬.
Álgebra de Boole fue introducida en 1854 por George Boole en su libro
Una investigación de las leyes del pensamiento. Según Huntington, el término
“álgebra de Boole” fue sugerido por primera vez por Scheffer en 1913.
Álgebra
de Boole ha sido fundamental en el desarrollo de la informática y sin embargo
es la base de la descripción abstracta de circuitos digitales.
También se usa en la lógica digital, programación de computadoras, la
teoría de conjuntos, y las estadísticas.
Un diagrama de Venn es una representación de una operación booleana
usando regiones superpuestas sombreadas. Hay una zona para cada variable, todas
las circulares en los ejemplos. El interior y el exterior de la región x
corresponde, respectivamente, a los valores 1 (verdadero) y 0 (false) para la
variable x. El sombreado indica el valor de la operación para cada combinación
de regiones, que denota oscuro y la luz 1 0 (algunos autores utilizan la
convención opuesta).
Los
tres diagramas de Venn en la siguiente figura, respectivamente, representan
conjuntamente x ∧ y, disyunción x ∨ y, y el complemento ¬ x.
